the explanation - Grade التوجيهي علمي - رياضيات - JO Academy school

التكامل بالكسور الجزئية.
تعلمت سابقاً أن الاقتران النسبي على الصورة $u (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ، حيث أن كلاً من g, f كثيرات حدود $g (x) \neq 0$ .

وقد نواجه في ايجاد التكامل مثل تلك الحالة ومن الأمثلة على ذلك:

$\int \frac{x + 3}{x^{2} - 1} d x, \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 3 x} d x, وهكذا$

و من الجدير بالذكر وجوب الانتباه إلى تلك الحالة التي يكون فيها البسط يساوي مشتقة المقام أو أحد مضاعفاته و هنا لا حاجة لاستخدام الكسور الجزئية بل الحل بالقانون:

$\int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + C$

مثال:

$\int \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

الحل:

البسط = مشتقة المقام بعد التعديل

$\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + c$

والان كيف نستخدم الكسور الجزئية كطريقة في حل التكامل؟

تعلمنا سابقاً أنه يمكن تجزئة الاقتران النسبي إلى ناتج جمع اقترانين نسبيين أو أكثر.

و مثال على ذلك:

$\frac{3}{x^{2} - 4} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2}$

حيث إن تحليل المقام $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

ولايجاد قيمة كل من a, b سنقوم بتوحيد المقام ليصبح الكسر كما يلي:

$\frac{3}{x^{2} - 4} = \frac{a (x + 2) + b (x - 2)}{x^{2} - 4}$

ومنه فإن: $3 = a (x + 2) + b (x - 2)$

وعندما x +2 = 0 فإن x = -2

وبتعويض x = -2 سنجد أن:

$3 = - 4 b \to b = \frac{- 3}{4}$

وبتعويض x-2 = 0 فإن x = 2

وبتعويض x =2 سنجد أن:

$3 = 4 a \to a = \frac{3}{4}$

$\frac{3}{x^{2} - 4} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2} فإن لذلك \frac{3}{x^{2} - 4} = \frac{\frac{3}{4}}{x - 2} + \frac{\frac{- 3}{4}}{x + 2}$

ويمكننا الان إجراء التكامل على النحو التالي:

$\int \frac{3}{x^{2} - 4} d x = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2}$

و المقام خطي و مشتقته موجودة في البسط

$= \frac{3}{4} \ln | x - 2 | - \frac{3}{4} \ln | x + 2 | + c = \frac{3}{4} \ln | \frac{x - 2}{x + 2} | + c اللوغرتمات قوانين من$

ومن الحالات التي سنناقشها في هذا الدرس تجزئة الكسور ما يلي:

1) عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة كما في المثال السابق.

و من الامثلة عليها:

$a) x^{2} - 2 x = x (x - 2) b) x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) c) x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)$

لاحظ أن كافة العوامل كثيرات حدود خطية مختلفة.

2) عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدهما مكرر:

مثال ذلك: $x {(x + 1)}^{2} = x (x + 1) (x + 1)$

لاحظ تكرار العامل x +1

3) عوامل المقام كثيرات حدود أحدهما تربيعي غير قابل للتحليل( مميزه سالب) و غير مكرر.

ومثال ذلك: $\frac{x^{2} - x}{(x + 1) (x^{2} + 1)}$

لاحظ العامل $x^{2} + 1$ ( مميزه سالب) غير قابل للتحليل و غير مكرر.

وسنعرض الان مجموعة من الامثلة التوضيحية لكل من الحالات السابقة.

الحالة الأولى: عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة.

مثال:

$\int \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x} d x قيمة جد$

الحل:

لاحظ بداية أن البسط ليس مشتقة المقام و المقام عبارة تربيعية قابلة للتحليل فيكون كتابة الكسر على النحو التالي:

$\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x - 3}$

حيث x-3 , x عوامل المقام.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x} = \frac{a (x - 3) + b x}{x^{2} - 3 x} المقام توحيد بعد x + 2 = a (x - 3) + b x$

عندما x = 0 فإن:

$2 = - 3 a \to a = \frac{- 2}{3}$

عندما x = 3 فإن:

$5 = 3 b \to b = \frac{5}{3}$

$\int \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x} d x = \frac{- 2}{3} \int \frac{1}{x} d x + \frac{5}{3} \int \frac{1}{x - 3} فإن ومنه = \frac{- 2}{3} \ln | x | + \frac{5}{3} \ln | x - 3 | + c$

مثال 2)

جد قيمة $\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 3 x - 4} d x$ :

لاحظ أن درجة البسط تساوي درجة المقام فلا يمكن تجزئة الكسر حتى تصبح درجة المقام أقل من درجة البسط و لحل هذه الإشكالية سنلجأ إلى واحدة مما يلي:

1) الإضافة و الطرح

2) القسمة الطويلة

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{- 3 x + 5}{x^{2} + 3 x - 4}$

ولتحقق يمكن جمع البسط ليصبح $x^{2} + 1$

$= 1 + \frac{- 3 x + 5}{x^{2} + 3 x - 4}$

الان يمكن القيام بالتجزئة:

$\frac{- 3 x + 5}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 1} \frac{- 3 x + 5}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{a (x - 1) + b (x + 4)}{x^{2} + 3 x - 4} المقام توحيد بعد - 3 x + 5 = a (x - 1) + b (x + 4)$

عندما x= -4 فإن

$17 = - 5 a \to a = \frac{- 17}{5}$

عندما x = 1 فإن:

$2 = 5 b \to b = \frac{2}{5}$

بالتالي:

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 3 x - 4} d x = \int 1 d x - \frac{17}{5} \int \frac{1}{x + 4} d x + \frac{2}{5} \int \frac{1}{x - 1} d x = x - \frac{17}{5} \ln | x + 4 | + \frac{2}{5} \ln | x - 1 | + c$

2)عوامل المقام كثيرات حدود خطية أحدها مكرر:

مثال:

أجد:

$\int \frac{x^{2} + 1}{x {(x + 2)}^{2}} d x$

الحل: يمكن إعادة كتابة المقدار على النحو التالي:

$\frac{x^{2} + 1}{x {(x + 2)}^{2}} = \frac{a}{x} + \frac{b}{(x + 2)} + \frac{c}{{(x + 2)}^{2}}$

وبتوحيد المقام نجد أن:

$\frac{x^{2} + 1}{x {(x + 2)}^{2}} = \frac{a {(x + 2)}^{2} + b x (x + 2) + c x}{x {(x + 2)}^{2}} x^{2} + 1 = a {(x + 2)}^{2} + b x (x + 2) + c x 5 = - 2 c \to c = \frac{- 5}{2} : فإن x = - 2 عندما 1 = 4 a \to a = \frac{1}{4} : فإن x = 0 عندما 2 = \frac{1}{4} (1) + - b + \frac{5}{2} العوامل أحد وليست افتراضية قيمة وهذه : x = - 1 عندما b = \frac{3}{4} أن نجد b قيمة وبحل$

بالتالي فإن:

$\int \frac{x^{2} + 1}{x {(x + 2)}^{2}} d x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x - \frac{5}{2} \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x = \frac{1}{4} \ln |x| + \frac{3}{4} \ln |x + 2| + \frac{5}{2 (x + 2)} + c$

مثال 2:

أجد قيمة:

$\int \frac{x - 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x} d x$

الحل: يمكن إعادة كتابة الكسر بعد تحليل المقام على النحو التالي:

$\frac{x - 1}{3 x {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{3} \frac{x - 1}{x {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{3} (\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{{(x + 1)}^{2}})$

وبعد توحيد المقام نجد أن:

$x - 1 = a {(x + 1)}^{2} + b x (x + 1) + c (x) - 2 = - c \to c = 2 : فإن x = - 1 عندما - 1 = a \to a = - 1 : فإن x = 0 عندما 0 = 4 a + 2 b + c : فإن افتراضية قيمة x = 1 عندما 0 = - 4 + 2 b + 2 b = 1 أن نجد a, b من كل قيمة وبتعويض$

ليصبح ناتج التجزئة ما يلي:

$\int \frac{x - 1}{3 x {(x + 1)}^{2}} d x = \frac{- 1}{3} \int \frac{1}{x} d x + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x + \frac{2}{3} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x = \frac{- 1}{3} \ln |x| + \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{2}{3 (x + 1)} + c$

3)عوامل المقام كثيرات حدود و أحدها تربيعي غير قابل للتحليل وغير مكرر

مثال:

أجد قيمة: $\int \frac{4 x^{2} + 1}{x^{3} + x} d x$

الحل: يمكن كتابة الكسر على النحو التالي:

$\frac{4 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b x + c}{x^{2} + 1}$

ملاحظة: البسط أقل درجة من المقام عند التجزئة.

وبتوحيد المقام نجد أن:

$\frac{4 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{a (x^{2} + 1) + x (b x + c)}{x (x^{2} + 1)} 4 x^{2} + 1 = a (x^{2} + 1) + x (b x + c) 1 = a \to a = 1 : فإن x = 0 عندما 5 = 2 + b - c : a = 1 و افتراضية قيمة x = - 1 عندما 3 = b - c \to (1) 5 = 2 + b + c : a = 1 و افتراضية قيمة x = 1 عندما 3 = b + c \to (2) 6 = 2 b \to b = 3 أن نجد, (1), (2) المعادلتين وبحل 3 = 3 - c \to c = 0 b = 3 وتعويض (1) إلى بالعودة$

ليصبح الكسر على النحو التالي:

ملاحظة: يجب أن يكون البسط = مشتقة المقام هنا دائمًا

$\int \frac{4 x^{2} + 1}{x^{3} + x} d x = \int \frac{1}{x} d x + 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \ln |x| + \frac{3}{2} \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln |x| + \frac{3}{2} \ln |x^{2} + 1| + c$

التكامل بالكسور الجزئية لتكاملات محدودة.

مثال:

ما قيمة $\int_{2}^{3} \frac{4 x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} d x$ ؟

الحل: يمكن إعادة كتابة المقدار على النحو التالي

$\frac{4 x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b x + c}{x^{2} + x + 1} مكعبين بين الفرق تحليل 4 x^{2} + x + 1 = a (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (b x + c) 6 = 3 a \to a = 2 فإن x = 1 عندما 4 = 2 + 2 b - 2 c a = 2, افتراضية قيمة x = - 1 عندما 1 = b - c \to (1) 1 = 2 - c \to c = 1 a = 0, افتراضية قيمة x = 0 عندما 1 = b - 1 \to b = 2 b قيمة وحل (1) المعادلة إلى بالعودة$

ليصبح:

$\int_{2}^{3} \frac{4 x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} d x = 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{2}^{3} \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x = 2 \ln |x - 1| |_{2}^{3} + \ln |x^{2} + x + 1| |_{2}^{3} = 2 (\ln |2| - \ln |1|) + \ln |13| - \ln |7| = \ln 4 + \ln 13 - \ln 7 = \ln \frac{52}{7}$

التكامل بالكسور الجزئية والتكامل بالتعويض.

مثال:

أجد قيمة $\int \frac{\cos x}{\sin^{2} x + \sin x} d x$

لاحظ أنه لا يمكن أن نبدأ بتجزئة الكسر كون محتوياته ليست كثيرات حدود, لذلك سنفكر في حل آخر هو التعويض

$u = \sin x بفرض d x = \frac{d u}{\cos x}$

بالعودة والتعويض نجد أن

$\int \frac{\cos x}{\sin^{2} x + \sin x} d x = \int \frac{\cos x}{u^{2} + u} \times \frac{d u}{\cos x}$

باختصار cos x.

الكسر الآن تنطبق عليه شروطة التجزئة.

$\int \frac{1}{u^{2} + u} d u \frac{1}{u^{2} + u} = \frac{a}{u} + \frac{b}{u + 1}$

بتوحيد المقام

$1 = a (u + 1) + b u 1 = a u = 0 عندما 1 = - b \to = - 1 u = - 1 عندما$

بالتالي فإن:

$\int \frac{1}{u^{2} + u} d u = \int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u + 1} d u = \ln |u| - \ln |u + 1| + c = \ln |\frac{u}{u + 1}| + c$

وبإعادة u=sinx

$= \ln |\frac{\sin x}{\sin x + 1}| + c$

مثال:

أجد قيمة $\int_{2}^{4} \frac{1}{x {(\ln x)}^{2} - x} d x$

الحل:

$u = \ln x بفرض d x = \frac{d u}{\frac{1}{x}} d x = x d u \int \frac{1}{x ({(\ln x)}^{2} - 1)} d x = \int \frac{1}{x (u^{2} - 1)} x d u فإن ومنه$

باختصار x نجد أن:

$\int \frac{1}{u^{2} - 1} d u = \int \frac{a}{u - 1} d u + \int \frac{b}{u + 1} d u 1 = a (u + 1) + b (u - 1) 1 = 2 a \to a = \frac{1}{2} u = 1 عندما 1 = - 2 b \to b = - \frac{1}{2} u = - 1 عندما$

بالتالي:

$\int \frac{1}{u^{2} - 1} d u = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u - 1} d u - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 1} d u = \frac{1}{2} \ln |u - 1| - \frac{1}{2} \ln |u + 1|$

بإعادة u=lnx

$= \frac{1}{2} \ln |\ln x - 1| |_{2}^{4} - \frac{1}{2} \ln |\ln x + 1| |_{2}^{4} = \frac{1}{2} \ln |(\ln 4) - 1| - \frac{1}{2} \ln |(\ln 2) - 1| - \frac{1}{2} \ln |\ln (4) + 1| + \frac{1}{2} \ln |\ln (2) + 1| = \frac{1}{2} \ln |\frac{\ln 4 - 1}{\ln 4 + 1}| + \frac{1}{2} \ln |\frac{\ln 2 + 1}{\ln 2 - 1}|$

رياضيات

التوجيهي علمي

Get it for

MAC

Get it for

WINDOWS