رياضيات أدبي

المتغيرات العشوائية

Random Variables

فكرة الدرس :  إيجاد قِيَم متغير عشوائي في تجربة عشوائية.

•• يُطلَق على المتغير الذي يُتوصَّل إلى قِيَمه من نواتج تجربة عشوائية اسم المتغير العشوائي

ففي تجربة سحب بطاقة عشوائيًا من صندوق يحوي 4 بطاقات حمراء و 3 بطاقات خضراء ، إذا كان المتغير العشوائي X يُمثِّل عدد البطاقات

الخضراء  في السحبة، فإنّ قيمة المتغير العشوائي X قد تكون 0 في حالة سحب بطاقة حمراء ، أو  1 في حالة سحب بطاقة خضراء .

 

مثال : 

في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على عدد مرّات ظهور الصورة ، فأجد مجموعة قِيَم X 

الحل : 

أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك،  فإنَّ : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : $\Omega = \{ (T,T,T) , (T,T, H) , (T, H ,T) ,(H ,T,T) , (T, H , H) , (H ,T, H) , (H , H ,T) , (H , H , H) \}$

ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد مرات ظهور الصورة المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم  : 0 ، 1 ، 2 ، 3   

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : ? = { 0 , 1 , 2 , 3 }

 

---

 

•• عند تحديد القِيَم العددية للمتغير العشوائي، يُمكِن أحيانًا تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين.

 مثال : 

يحتوي كيس على 6 كرات بيضاء و 8 كرات زرقاء ، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الزرقاء في تجربة سحب 5 كرات عشوائيًّا معًا من
الكيس،فأجد مجموعة قِيَم X 

الحل : 

أفترض أنَّ W تعني كرة بيضاء وأنَّ B تعني كرة زرقاء

•• عدد عناصر فضاء العيِّنة عند اختيار n من عناصر نوعين مختلفي اللون من الكرات هو $2^n$

إذن عدد عناصر  Ω :     $2^{5 }= \mathbf{32}$

نظرًا لأن عدد عناصر Ω كبير نسبيًا فيمكن تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي X ، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين ، على النحو الآتي : 

العنصر ( 5 بيضاء) ، والعنصر ( 5 زرقاء)	$$\begin{gathered} \Omega =\left\{\right(W,W,W,W,W), ... ,(B,B,B,B,B\left)\right\} \\ \downarrow \downarrow \\ X = 0 ... 5 \end{gathered}$$
عدد الكرات البيضاء المرتبط بالعنصر

 

 

 

 

ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0 و 5  

نماذج من بقية العناصر  :

$$\begin{gathered} (B,W,W,W,W) \to X = 1 \\ (B,B,W,W,W) \to X = 2 \\ (B,B,B,W,W) \to X = 3 \\ (B,B,B,B,W) \to X = 4 \end{gathered}$$

إذن ، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X هي : { 5 , 4 , 3 , 2 , 1 } 

 

---

       

•• تتطلَّب بعض المواقف تحديد عناصر حادث مُعيَّن في فضاء العيِّنة، مرتبط بقيمة مُحدَّدة من قِيَم المتغير العشوائي في التجربة. ففي تجربة إلقاء

قطعتي نقد مرَّة واحدة ، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة ، فإنَّ عنصر الحادث {( A = {(H , T يرتبط بالقيمة 1، وعنصر الحادث

{( B = {(H , H يرتبط بالقيمة 0 ، وعنصر الحادث {( C = {(T , T يرتبط بالقيمة 2 

مثال : 

في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من صندوق يحوي 8 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 0 إلى 7 ، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين ، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 10 في الحالات الآتية : 

a) إذا كان السحب مع الإرجاع.

b) إذا كان السحب بدون إرجاع.

الحل : 

أفرض أنَّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 10 : 

a) إذا كان السحب مع الإرجاع.

المجاميع المُمكِنة للعدد 10 باستخدام البطاقات إذا كان السحب مع الإرجاع  :

                              $$\begin{gathered} 3 + 7 =10 \\ 7 + 3 =10 \\ 4 + 6 =10 \\ 6 + 4 =10 \\ 5 + 5 =10 \end{gathered}$$  

إذن عناصر الحادث A :    $A = \left\{\right(3 , 7) , (7, 3) , (4 , 6) , (6 , 4) , (5 , 5\left)\right\}$

أُلاحِظ أنَّ المجموع 5 + 5 مُمكِن؛ لأنَّ السحب مع الإرجاع.

---

 

b) إذا كان السحب بدون إرجاع.

المجاميع المُمكِنة للعدد 10 باستخدام البطاقات إذا كان السحب بدون إرجاع :

                                    $$\begin{gathered} 3 + 7 =10 \\ 7 + 3 =10 \\ 4 + 6 =10 \\ 6 + 4 =10 \end{gathered}$$

إذن عناصر الحادث A :     $A = \left\{\right(3 , 7) , (7, 3) , (4 , 6) , (6 , 4\left)\right\}$

أُلاحِظ أنَّ المجموع 5 + 5 غير مُمكِن ؛ لأنَّ السحب بدون إرجاع.