رياضيات أدبي فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 67

في تجربة إلقاء حجر نرد مرَّة واحدة، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على العدد الظاهر ، فأجد مجموعة قِيَم X  .

الحل : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : $\Omega = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \}$

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي :  ? = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

---

أتحقق من فهمي صفحة 68

في تجربة إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي x على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قِيَم X

الحل :  

أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك،  فإنَّ : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : $\Omega = \{ (T,T,T) , (T,T, H) , (T, H ,T) ,(H ,T,T) , (T, H , H) , (H ,T, H) , (H , H ,T) , (H , H , H) \}$

ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد مرات ظهور الكتابة المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم  : 0 ، 1 ، 2 ، 3  

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : ? = { 0 , 1 , 2 , 3 }

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 69

في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 6 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها تحمل رقمًا من 0 إلى 5، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :

المجاميع المُمكِنة للعدد 4 باستعمال البطاقات :  $0 + 4 =\mathbf{ }\mathbf{4} , 4 + 0 = \mathbf{4} , 1+ 3 = \mathbf{4} , 3 + 1 = \mathbf{4}$

إذن عناصر الحادث  $A$  =  {(0,4) , (4,0) , (1,3) , (3,1)}

 

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا من البطاقات الظاهرة في الشكل المجاور، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على حاصل ضرب العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين ، فأجد مجموعة قِيَم X في الحالات الآتية :

 

 

 

 

 

1) السحب على التوالي مع الإرجاع.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج ضرب العدد الظاهر على البطاقة في السحب الأول في العدد الظاهر على البطاقة في السحب الثاني ، إذن : 

$$\begin{gathered} 1 \times 2 = \mathbf{2} 1 \times 3 =\mathbf{3} 2 \times 3 = \mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } 1 \times 1\mathbf{ }=\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ } \\ 2 \times 1 =\mathbf{ }\mathbf{2} 3 \times 1 =\mathbf{3} 3 \times 2 = \mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } 2 \times 2 =\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ } \\ 3 \times 3 =\mathbf{ }\mathbf{9} \end{gathered}$$ 

إذن قيم  $X$ هي :  ? = { 1 , 2 , 3, 4 , 6 , 9 }

---

2) السحب على التوالي من دون إرجاع.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج ضرب العدد الظاهر على البطاقة في السحب الأول في العدد الظاهر على البطاقة في السحب الثاني ، مع مراعاة أن السحب هنا بدون إرجاع إذن : 

$$\begin{gathered} 1 \times 2 = \mathbf{2} 1 \times 3 =\mathbf{3} 2 \times 3 = \mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \mathbf{ } \\ 2 \times 1 =\mathbf{ }\mathbf{2} 3 \times 1 =\mathbf{3} 3 \times 2 = \mathbf{6}\mathbf{ } \end{gathered}$$

إذن قيم $X$ هي :   ? = { 2 , 3 , 6 }

3)  سحب البطاقتين معًا.

الحل :  

سحب البطاقتين معًا يكافئ السحب من دون إرجاع ، إذن :  ? = { 2 , 3 , 6 }

---

 

 

إذا دُوِّر مُؤشِّرا القرصين عشوائيًّا في الشكل المجاور، وتوقَّف كل مُؤشِّر عند أحد الأعداد، فأجد مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X إذا دلَّ على :

 

 

 

 

 

4)مجموع العددين.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج جمع كل عدد يقف عنده المؤشر في أحد القرصين مع العدد الذي يقف عنده المؤشر في القرص الآخر (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط)    

إذن : قيم X هي : ? = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }   

---

5) القيمة المطلقة للفرق بين العددين.

الحل :  

أجد القيمة المطلقة للفرق بين كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

$\left|0-1\right| = 1 , \left|1-1\right| = 0 , \left|2-1\right| = 1 , \left|3-1\right| = 2 , \left|3-0\right| =3 , ...$ 

إذن :  ? = { 0 , 1 , 2 , 3 }  

6) حاصل ضرب العددين.

الحل :  

أجد حاصل ضرب كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

     $0\times 1 = 0 , 1\times 1 =1 , 2\times 1 = 2 , 3\times 1 = 3 , ...$

إذن :  ?  = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 }

---

7) في تجربة سحب ثلاث كرات عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي 3 كرات حمراء، و 3 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، جميعها مُتماثِلة،

إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الكرات الحمراء في السحبة ، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 2

الحل : 

R : حمراء ، Y : صفراء ، G : خضراء

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، فتكون عناصره هي كل الترتيبات التي تحتوي على كرتين حمراوين : 

إذن :  ? =  { (?,?,?),(?,?,?),(?,?,?),(?,?,?),(?,?,?),(?,?,?) }

 

8) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم). مسألة اليوم في لعبة رمي السهام ، رمى كلٌّ من إبراهيم ويوسف سهمين على لوحة السهام المجاورة. كم مجموعًا مختلفًا يُمكِن أنْ يُسجِّله إبراهيم أو يوسف؟

 

 

 

 

 

 

الحل :  

قيم المتغير العشوائي X مُرتبطة بمجموع النقاط التي سيحققها كل من إبراهيم أو يوسف ، حيث رمى كل منهما سهمين .

ألاحظ أنّ أكبر مجموع يُمكن أن يتحقق هو : $5 + 5 =\mathbf{ }\mathbf{10}$  ، وأقل مجموع يُمكن أن يتحقق هو : $1+1 =\mathbf{ }\mathbf{2}$ ثم أجد المجاميع المحصورة بين أكبر مجموع وأقل مجموع فتكون  :  $\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{7}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{8}$  ، حيث يُؤخذ من القِيَم المُكررة قيمة واحدة فقط. 

إذن هناك 8 مجاميع مختلفة .

---

 

9) مسألة مفتوحة : أَصِف موقفًا تكون فيه قِيَم المتغير العشوائي $2 , 1 , 0 : X$    

الحل :  

سحب كرتين معًا من صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و 4 كرات صفراء و 3 كرات خضراء ، إذا دل المتغير العشوائي X على ظهور كرتين حمراء .

فإنّ المتغير العشوائي X سيأخذ القَيم :  X = 0  عند سحب كرتين ليس بينهما كرة حمراء ، مثل : $(G,G) , (Y,G) , (Y, Y)$

X = 1  عند سحب كرتين أحدهما كرة حمراء ، مثل : $(G,R) , (R,Y)$،  X = 2  عند سحب كرتين حمراء  : $(R,R)$

---

 

10) تبرير : في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من صندوق يحوي 3 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة بأحد الأرقام: 1 , 3 , 5 ، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، وكانت قِيَمه : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ، فأُحدِّد إذا كان السحب مع الإرجاع، أو من

دون إرجاع ، مُبرِّرًا إجابتي.

الإجابة : 

السحب مع الإرجاع ؛ لأنّ القيمة 2 تنتج من 1 + 1 ،  وهذا يدل على أن البطاقة التي تحمل الرقم 1 أعيد سحبها وكذلك القيمة  10 نتجت من 5 + 5  

---

 

11) تحدٍّ : أَصِف موقفًا حياتيًّا تكون فيه بعض قِيَم المتغير العشوائي موجبة، وبعض قِيَمه الأُخرى سالبة.

إجابة محتملة : سلعة تكلفتها 5 دنانير ، وبيعت في أيام مختلفة بالأسعار : 6 ، 7 ، 5 ، 4 ، 3 ، وكان المتغير العشوائي يدل على مقدار الربح  أو الخسارة. 

 

---

 

أسئلة كتاب التمارين 

1) في تجربة لاختيار عائلة لديها طفلان عشوائيًّا، وتسجيلهما بحسب الجنس وتسلسل الولادة، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد الذكور، فأجد

مجموعة قيم  X. (إرشاد: أستعمل حرف B للذكور، وحرف G للإناث).

الحل :  

أفرض أنَّ B تعني ولد ، وأنَّ G تعني بنت. وبذلك،  فإنَّ : 

عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : $\Omega = \{ (B,B) , (B,G) , (G,B) ,(G ,G\left)\right\}$

ألاحظ من فضاء العيّنة أنّ عدد الذكور المُرتبط بكل عنصر يأخذ القيم  : 0 ، 1 ، 2   

إذن، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي x هي : ? = { 0 , 1 , 2 }

 

---

 

2) في تجربة إلقاء 4 قطع نقد معدنية عشوائيًّا، إذا دلَّ المتغير العشوائي X على عدد مرّات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قيم  X. 

(إرشاد : أستعمل حرف H للصورة، وحرف T للكتابة).

الحل :  

أفترض أنَّ H تعني صورة ، وأنَّ T تعني كتابة. وبذلك،  فإنَّ : 

عدد عناصر فضاء العيِّنة للتجربة : $2^4 = 16$

نظرًا لأن عدد عناصر Ω كبير نسبيًا فيمكن تحديد أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير العشوائي X ، ثم كتابة بقية قِيَمه بين هاتين القيمتين ، على النحو الآتي : 

العنصر ( 4 صورة) ، والعنصر ( 4 كتابة)	$$\begin{gathered} \Omega =\left\{\right(H,H, H,H), ... ,(T,T,T,T\left)\right\} \\ \downarrow \downarrow \\ X = 0 ... 4 \end{gathered}$$
عددمرات ظهور الكتابة المرتبط بالعنصر

 

 

 

ألاحظ أنّ قيم X تتراوح بين 0 و 4  

إذن ، مجموعة قِيَم المتغير العشوائي X هي : { 4 , 3 , 2 , 1 , 0} 

 

---

 

3) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من دون إرجاع من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة برقم من 1 إلى 4، إذا دلَّ

المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4 

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو A ، (والسحب من دون إرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :  

إذن :   ? = { (1 , 3) , (3 , 1) } 

 

---

 

4) في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي مع الإرجاع من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة برقم من 1 إلى 4، إذا دلَّ المتغير

العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، فأجد الحادث الذي ترتبط جميع عناصره بالقيمة X = 4

الحل :  

أفرض أنّ الحادث المطلوب هو B ، (والسحب مع الإرجاع) فتكون عناصره هي الأزواج المُرتَّبة التي مجموع إحداثييها يساوي 4 :  

إذن : ? = { (1 , 3) , (3 , 1) , (2 , 2) }

---

 

إذا دُوِّر مُؤشِّرا القرصين عشوائيًّا في الشكل المجاور، وتوقَّف كل مُؤشِّر عند أحد الأعداد، فأجد مجموعة قيم المتغير العشوائي X إذا دلَّ على:

 

 

 

 

 

5) مجموع العددين.

الحل :  

قيم X مرتبطة بناتج جمع كل عدد يقف عنده المؤشر في أحد القرصين مع العدد الذي يقف عنده المؤشر في القرص الآخر (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط)    

إذن : قيم X هي : ? = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }   

---

6) القيمة المطلقة للفرق بين العددين. 

الحل :  

أجد القيمة المطلقة للفرق بين كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

$|0-1| = 1 , |1-1| = 0 , |2-1| = 1 , |3-1| = 2 , |3-0| =3 , |0-4| =4 , ...$   (ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط)   

إذن : قيم X هي : ? = { 1 , 2 , 3 , 4 }   

---

7) ناتج ضرب العددين.

الحل :  

أجد حاصل ضرب كل عددين يقف عندهما المؤشر في القرصين على النحو : 

$0\times 1 = \mathbf{0}\mathbf{ } , 1\times 1 =\mathbf{1} , 2\times 1 = \mathbf{2} , 3\times 1 = \mathbf{3} , 2\times 2 = \mathbf{4} , 3\times 2 =\mathbf{ }\mathbf{6} , 2\times 4 = \mathbf{8} , 3\times 3 = \mathbf{9} , 3\times 4 =\mathbf{12} ,...$

ويُؤخذ من القِيَم المُكررة  قيمة واحدة فقط    

إذن : قيم X هي :  ? = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 }