lesson questions solve - Grade التوجيهي علمي - رياضيات العلمي فصل أول - JO Academy school

أجد المحل الهندسي الذي تُمثَّله المعادلة: $| z + 5 - 4 i | = 7$ ثم أكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

المحل الهندسي هو دائرة نصف قطرها 7 وحدات ومركزها النقطة $(- 5, 4)$

$S o l u t i o n : | z + 5 - 4 i | = 7 | z - (- 5 + 4 i) | = 7 x_{1} = - 5, y_{1} = 4, r = 7 z = x + y i | x + y i + 5 - 4 i | = 7 | (x + 5) + (y - 4) i | = 7 7 = \sqrt{{(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} {(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 49$

أجد المحل الهندسي الذي تُمثَله المعادلة: $| z + 1 | = | z - 5 i |$ ثم أكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

الحل:

$| z - (- 1 + 0 i) | = | z - (0 + 5 i) |$

حسب التعريف فهذه معادلة المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين $(- 1, 0), (0, 5)$

$S o l u t i o n : | z + 1 | = | z - 5 i | | x + y i + 1 | = | x + y i - 5 i | | (x + 1) + y i | = | x + (y - 5) i | \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 5)}^{2}} {(x + 1)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y - 5)}^{2} x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 10 y + 25 x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 10 y + 25 2 x + 10 y - 24 = 0$

الحل الآخر:

المنصف العامودي يمر بنقطة منتصف القطعة المستقيمة :

$(- 1, 0), (0, 5) (\frac{- 1 + 0}{2}, \frac{0 + 5}{2}) = (\frac{- 1}{2}, \frac{5}{2})$

ويحقق سالب ومقلوب ميل المستقيم المار بالنقطتين $(- 1, 0), (0, 5)$ بسبب التعامد

$m = \frac{5 - 0}{0 - - 1} = 5$ .

لذلك فمعادلة المستقيم المار بالنقطة $(\frac{- 1}{2}, \frac{5}{2})$ ، وميله $- \frac{1}{5} =$

$y - \frac{5}{2} = - \frac{1}{5} (x - \frac{- 1}{2}) 2 x + 10 y - 24 = 0$

أجد المحل الهندسي الذي تُمثَّله كل معادلة ممّا يأتي ، ثم أرسمه في المستوى المُركَّب:

$a) A r g (z) = \frac{π}{3}$

الحل:

حسب التعريف فهذه معادلة الشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل $(0, 0)$ وسعته $\frac{π}{3}$

$b) A r g (z - 5) = - \frac{2 π}{3}$

الحل:

حسب التعريف فهذه معادلة الشعاع الذي يبدأ من النقطة $(5, 0)$ ،

ويصنع زاوية قياسها $\frac{2 π}{3}$ مع الاتجاه الموجب لمحور $x$

أُمثل في المستوى المُركَب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقّقَ كل متباينة مما يأتي:

$a) | z + 3 + i | \leq 6$

الحل:

المنحنى الناتج دائرة نصف قطرها 6 وحدات ، ومركزها النقطة $(- 3, - 1)$ ،

والمنطقة المظللة داخل وعلى حدود (محيط) الدائرة

$b) | z + 3 + i | \leq | z - 4 |$

الحل:

الشكل الناتج هو المنصف العامودي للقطعة الواصلة بين النقطتين $(- 3, - 1), (4, 0)$

والذي يمثل بالمتباينة الجبرية $7 x + y < 3$ . وباختبار العدد $z = - i = (0, - 1)$ الذي يحقق المتباينة .

$c) \frac{π}{4} < A r g (z + 5) \leq \frac{π}{2}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 5) = \frac{π}{2}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 5, 0)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{2}$ مع محور x الموجب .

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 5) = \frac{π}{4}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 5, 0)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع محور x الموجب .

أمثَل في المستوى المركَب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقّق المتباينة: $| z + 3 - 2 i | \geq 4$ ، والمتباينة: $- \frac{π}{2} < A r g (z - 2 + i) < \frac{π}{4}$

الحل:

المنحنى الناتج دائرة نصف قطرها 6 وحدات ، ومركزها النقطة $(- 3, 2)$

والمنطقة المظللة خارج وعلى حدود (محيط) الدائرة .

والمنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 + i) = \frac{π}{4}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(2, - 1)$

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع مستقيم يوازي محور x .

والمنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 + i) = - \frac{π}{2}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(2, - 1)$

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{2}$ مع مستقيم يوازي محور x .

أجد المحل الهندسي الذي تُمثَّله كل معادلة مما يأتي ، ثم أمثله في المستوى المركب ، ثم اجد معادلته الديكارتية .

$1) |z| = 10$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 10 وحدات ومركزها النقطة $(0, 0)$

$| x + y i | = 10 \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 10 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 100$

$2) | z - 9 | = 4$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 4وحدات ومركزها النقطة $(9, 0)$

$| x - 9 + y i | = 4 \sqrt{{(x - 9)}^{2} + y^{2}} = 4 \Rightarrow {(x - 9)}^{2} + y^{2} = 16$

$3) | z + 2 i | = 8$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 8 وحدات ومركزها النقطة $(0, - 2)$

$| x + y i + 2 i | = 8 \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}} = 8 \Rightarrow x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 64$

$4) | z - 5 + 6 i | = 2$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 2 وحدة ومركزها النقطة $(5, - 6)$

$| x - 5 + (y + 6) i | = 2 \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y + 6)}^{2}} = 2 \Rightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 4$

$5) | z + \sqrt{2} + i \sqrt{2} | = 2$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 2 وحدة ومركزها النقطة $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$

$| x + \sqrt{2} + (y + \sqrt{2}) i | = 2 \sqrt{{(x + \sqrt{2})}^{2} + {(y + \sqrt{2})}^{2}} = 2 \Rightarrow {(x + \sqrt{2})}^{2} + {(y + \sqrt{2})}^{2} = 4$

$6) | z + 6 - i | = 7$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 7 وحدات ومركزها النقطة $(- 6, 1)$

$| x + 6 + (y - 1) i | = 7 \sqrt{{(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = 7 \Rightarrow {(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 49$

$7) | z - 5 | = | z - 3 i |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين $(5, 0), (0, 3)$

$| z - 5 | = | z - 3 i | | x + y i - 5 | = | x + y i - 3 i | | (x - 5) + y i | = | x + (y - 3) i | \sqrt{{(x - 5)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 3)}^{2}} {(x - 5)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y - 3)}^{2} x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 - 10 x + 6 y = - 16 5 x - 3 y = 8$

$8) | z + 3 i | = | z - 7 i |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين

النقطتين $(0, - 3), (0, 7)$

$| z + 3 i | = | z - 7 i | | x + y i + 3 i | = | x + y i - 7 i | | x + (y + 3) i | = | x + (y - 7) i | \sqrt{x^{2} + {(y + 3)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 7)}^{2}} x^{2} + {(y + 3)}^{2} = x^{2} + {(y - 7)}^{2} x^{2} + y^{2} + 6 y + 9 = x^{2} + y^{2} - 14 y + 49 x^{2} + y^{2} + 6 y + 9 = x^{2} + y^{2} - 14 y + 49 20 y = 40 \Rightarrow y = 2$

$9) | z + 5 + 2 i | = | z - 7 |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة

بين النقطتين $(- 5, - 2), (7, 0)$

$| z + 5 + 2 i | = | z - 7 | | x + y i + 5 + 2 i | = | x + y i - 7 | | (x + 5) + (y + 2) i | = | (x - 7) + y i | \sqrt{{(x + 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2}} = \sqrt{{(x - 7)}^{2} + {(y)}^{2}} {(x + 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = {(x - 7)}^{2} + {(y)}^{2} x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} + 4 y + 4 = x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} + 4 y + 4 = x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} 24 x + 4 y = 20 6 x + y = 5$

$10) | z - 3 | = | z - 2 - i |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة

بين النقطتين $(3, 0), (2, 1)$

$| z - 3 | = | z - 2 - i | | x + y i - 3 | = | x + y i - 2 - i | | (x - 3) + y i | = | (x - 2) + (y - 1) i | \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} {(x - 3)}^{2} + y^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 - 2 x + 2 y = - 4 x - y = 2$

$11) \frac{| z + 6 - i |}{| z - 10 - 5 i |} = 1$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة

بين النقطتين $(- 6, 1), (10, 5)$

$| z + 6 - i | = | z - 10 - 5 i | | x + y i + 6 - i | = | x + y i - 10 - 5 i | | (x + 6) + (y - 1) i | = | (x - 10) + (y - 5) i | \sqrt{{(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2}} {(x + 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 20 x + 100 + y^{2} - 10 y + 25 x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 20 x + 100 + y^{2} - 10 y + 25 - 32 x + 8 y = 88 - 4 x + y = 11$

$12) | z + 7 + 2 i | = | z - 4 - 3 i |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة

بين النقطتين $(- 7, - 2), (4, 3)$

$| z + 7 + 2 i | = | z - 4 - 3 i | | x + y i + 7 + 2 i | = | x + y i - 4 - 3 i | | (x + 7) + (y + 2) i | = | (x - 4) + (y - 3) i | \sqrt{{(x + 7)}^{2} + {(y + 2)}^{2}} = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} {(x + 7)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} + 4 y + 4 = x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 6 y + 9 x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} + 4 y + 4 = x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 6 y + 9 49 + 4 = 16 + 9 22 x + 10 y = - 28 11 x + 5 y = - 14$

أجد المحل الهندسي الذي تُمثَّله كل من المعادلات التالية ، ثم أمثله في المستوى المركب.

$13) A r g (z + 2 - 5 i) = \frac{π}{4}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 2 - 5 i) = \frac{π}{4}$

هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 2, 5)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = 5$ .

$14) A r g (z - 1 + \sqrt{3} i) = \frac{2 π}{3}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 1 + \sqrt{3} i) = \frac{2 π}{3}$

هو شعاع يبدأ من النقطة $(1, - \sqrt{3})$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{2 π}{3}$ مع المستقيم $y = - \sqrt{3}$ .

$15) A r g (z - 4 i) = - \frac{3 π}{4}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 4 i) = - \frac{3 π}{4}$

هو شعاع يبدأ من النقطة $(0, 4)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $- \frac{3 π}{4}$ مع المستقيم $y = 4$ .

أَمثل في المستوى المُركَّب المنطقة التي تحددها كل متباينة مما ياتي :

$16) | z - 2 | < | z + 2 |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين

$(- 2, 0), (2, 0)$ .

والذي يمثل بالمتباينة الجبرية $x > 0$ . وباختبار العدد $z = 3 = (3, 0)$ الذي يحقق المتباينة .

$17) | z - 4 - 2 i | \leq 2$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة هو دائرة نصف قطرها 2 وحدة ومركزها النقطة $(4, 2)$

والذي يمثل بالمتباينة الجبرية ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 4$ .

وباختبار العدد $z = 3 + i = (3, 1)$ الذي يحقق المتباينة .

$18) | z - 4 | > | z - 6 |$

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين

النقطتين $(4, 0), (6, 0)$ .

والذي يمثل بالمتباينة الجبرية $x < 5$ . وباختبار العدد $z = 1 = (1, 0)$ الذي يحقق المتباينة .

$19) 0 < A r g (z - 2 - 2 i) < \frac{π}{4}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 - 2 i) = \frac{π}{4}$

هو شعاع يبدأ من النقطة $(2, 2)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = 2$ .

والمنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 - 2 i) = 0$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(2, 2)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $0$ مع المستقيم $y = 2$ .

وباختبار العدد $z = 1 + i \sqrt{3}$ الذي يحقق المتباينة بحيث :

$A r g (1 + i \sqrt{3}) = ? θ = A r g (1 + i \sqrt{3}) = t a n^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) \Rightarrow θ = \frac{π}{6} 0 < \frac{π}{6} < \frac{π}{4}$

$20) - \frac{π}{4} \leq A r g (z - 3 + 4 i) \leq \frac{π}{4}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 3 + 4 i) = \frac{π}{4}$ . هو شعاع يبدأ من النقطة $(3, - 4)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = - 4$ . ويكافئ المتباينة $y \leq x - 7$

والمنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 3 + 4 i) = - \frac{π}{4}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(3, - 4)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $- \frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = - 4$ .ويكافئ المتباينة $y \geq - x - 1$

وباختبار $z = 6 - 4 i = (6, - 4)$ العدد الذي يحقق المتباينة بحيث :

$A r g (6 - 4 i - 3 + 4 i) = ? θ = A r g (3 + 0 i) = t a n^{- 1} (\frac{0}{3}) \Rightarrow θ = 0 - \frac{π}{4} \leq 0 \leq \frac{π}{4}$

$21) 2 \leq | z - 3 - 4 i | \leq 4$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z - 3 - 4 i | = 4$ هو دائرة نصف قطرها 4 وحدات ومركزها النقطة $(3, 4)$

والذي يمثل بالمتباينة الجبرية ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} \leq 16$ .

والمنحنى الناتج عن المعادلة $| z - 3 - 4 i | = 2$ هو دائرة نصف قطرها 2 وحدة ومركزها النقطة $(3, 4)$

والذي يمثل بالمتباينة الجبرية ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} \geq 4$ .

وباختبار العدد $z = 3 + i = (3, 1)$ الذي يحقق المتباينة .

$2 \leq | z - 3 - 4 i | \leq 4 2 \leq | 3 + i - 3 - 4 i | \leq 4 2 \leq | - 3 i | \leq 4 2 \leq \sqrt{3^{2}} \leq 4 2 \leq 3 \leq 4$

22) أَمثّل في المستوى المُركَّب نفسه المحل الهندسي الذي تُمثله كل من المعادلة: $| z - 3 + 2 i | = \sqrt{10}$

والمعادلة: $| z - 6 i | = | z - 7 + i |$ . ثم أجد الأعداد المُركّبة التي تُحقّق المعادلتين معًا.

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z - 3 + 2 i | = \sqrt{10}$ هو دائرة نصف قطرها $\sqrt{10}$ وحدة

ومركزها النقطة $(3, - 2)$ ، وتمثل جبرياً بالمعادلة ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 10$ .

والشكل الناتج عن المعادلة $| z - 6 i | = | z - 7 + i |$ هو المنصف العامودي

للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين $(0, 6), (7, - 1)$ .

وتمثل جبرياً بالمعادلة :

$| z - 6 i | = | z - 7 + i | | x + y i - 6 i | = | x + y i - 7 + i | | (x + 0) + (y - 6) i | = | (x - 7) + (y + 1) i | \sqrt{{(x)}^{2} + {(y - 6)}^{2}} = \sqrt{{(x - 7)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} {(x)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = {(x - 7)}^{2} + {(y + 1)}^{2} x^{2} + y^{2} - 12 y + 36 = x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} + 2 y + 1 x^{2} + y^{2} - 12 y + 36 = x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} + 2 y + 1 + 36 = + 49 + 1 - 14 y + 14 x = 14 y = x - 1$

لإيجاد الأعداد المُركّبة التي تُحقّق المعادلتين معًا سنحل النظام :

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 10 . . . 1 y = x - 1 . . . 2 {(x - 3)}^{2} + {(x - 1 + 2)}^{2} = 10 {(x - 3)}^{2} + {(x + 1)}^{2} = 10 x^{2} - 6 x + 9 + x^{2} + 2 x + 1 = 10 2 x^{2} - 4 x = 0 x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow (0, - 1) z = - i \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow (2, 1) z = 2 + i$

23) أجد العدد المُركَبٍ الذي يحقق كُلا من المحل الهندسي: $| z - 3 | = | z + 2 i |$ ، والمحل الهندسي: $| z + 3 - i | = | z - 1 + 5 i |$

الحل:

سنحل المعادلتين جبرياً :

$1 | z - 3 | = | z + 2 i | z = x + y i | x + y i - 3 | = | x + y i + 2 i | | x - 3 + y i | = | x + (y + 2) i | \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}} {(x - 3)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y + 2)}^{2} x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 y + 4 x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 y + 4 6 x + 4 y = 5 . . . 1$

$2 | z + 3 - i | = | z - 1 + 5 i | | x + y i + 3 - i | = | x + y i - 1 + 5 i | | (x + 3) + (y - 1) i | = | (x - 1) + (y + 5) i | \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 8 x - 12 y = 16 2 x - 3 y = 4 . . . 2$

$6 x + 4 y = 5 . . . 1 2 x - 3 y = 4 . . . 2 x = \frac{31}{26}, y = - \frac{7}{13} \Rightarrow z = \frac{31}{26} - \frac{7}{13} i$

24) أَمثل في المستوى المُركَّب نفسه المحل الهندسي الذي تُمثله كلّ من المعادلات الآتية:

$A r g (z + 2 - 5 i) = \frac{π}{4}, A r g (z + 2 - 5 i) = - \frac{π}{2}, | z + 2 - 5 i | = \sqrt{29}$

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 2 - 5 i) = \frac{π}{4}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 2, 5)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = 5$ .

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 2 - 5 i) = - \frac{π}{2}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 2, 5)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $- \frac{π}{2}$ مع المستقيم $y = 5$ .

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z + 2 - 5 i | = \sqrt{29}$ هو دائرة نصف قطرها $\sqrt{29}$ وحدات ومركزها النقطة $(- 2, 5)$

25) أمثل في المستوى المُركب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقّق المتباينة: $| z - 3 | > | z + 2 i |$

والمتباينة: $| z + 3 - i | < | z - 1 + 5 i |$ .

الحل:

الشكل الناتج عن المعادلة $| z - 3 | = | z + 2 i |$ هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة

الواصلة بين النقطتين $(3, 0), (0, - 2)$ والذي يمثل بالمتباينة الجبرية .

$| z - 3 | = | z + 2 i | z = x + y i | x + y i - 3 | = | x + y i + 2 i | | x - 3 + y i | = | x + (y + 2) i | \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}} {(x - 3)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y + 2)}^{2} x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 y + 4 x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 y + 4 6 x + 4 y = 5$

وباختبار العدد $z = 0 \Rightarrow (0, 0)$ الذي يحقق المتباينة .

وكذلك الشكل الناتج عن المعادلة $| z + 3 - i | = | z - 1 + 5 i |$ هو المنصف العامودي للقطعة المستقيمة

الواصلة بين النقطتين $(- 3, 1), (1, - 5)$ والذي يمثل بالمتباينة الجبرية .

$| z + 3 - i | = | z - 1 + 5 i | | x + y i + 3 - i | = | x + y i - 1 + 5 i | | (x + 3) + (y - 1) i | = | (x - 1) + (y + 5) i | \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2}} {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 10 y + 25 8 x - 12 y = 16 2 x - 3 y = 4$

وباختبار العدد $z = 0 \Rightarrow (0, 0)$ الذي يحقق المتباينة .

26) أمثل في المستوى المُركَّب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقَّق المتباينة: $- \frac{π}{2} < A r g (z + 2 - 5 i) < \frac{π}{4}$

والمتباينة: $| z + 2 - 5 i | > \sqrt{29}$ .

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 2 - 5 i) = \frac{π}{4}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 2, 5)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = 5$ .

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z + 2 - 5 i) = - \frac{π}{2}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 2, 5)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $- \frac{π}{2}$ مع المستقيم $y = 5$ .

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z + 2 - 5 i | = \sqrt{29}$ هو دائرة متقطعة مركزها النقطة $(- 2, 5)$

ونصف قطرها $\sqrt{29}$ وحدة.

27) أمثل في المستوى المُركَّب المحل الهندسي للنقاط التي تُحقَّق المتباينة: $- \frac{π}{4} \leq A r g (z - 2 i) \leq \frac{π}{3}$

والمتباينة: $2 < | z - 3 + i | ⩽ 5$ .

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 i) = \frac{π}{3}$ هو شعاع متصل يبدأ من النقطة $(0, 2)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{3}$ مع المستقيم $y = 1$ .

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 i) = - \frac{π}{4}$ هو شعاع متصل يبدأ من النقطة $(0, 2)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $- \frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = 1$ .

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z - 3 + i | = 5$ هو دائرة متصلة مركزها النقطة $(3, - 1)$ ونصف قطرها $5$ وحدات .

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z - 3 + i | = 2$ هو دائرة متقطعة مركزها النقطة $(3, - 1)$ ونصف قطرها $2$ وحدة .

أكتب بدلالة z معادلة المحل الهندسي الممثل في كل مما يأتي :

28) الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $| z - 1 - i | = 3$

هو دائرة مركزها النقطة $(1, 1)$ ونصف قطرها $3$ وحدات .

29) الحل:

الشكل الناتج المنصف العامودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين $(3, 2), (- 1, 0)$

ويمر بنقطة منتصف القطعة المستقيمة : $(\frac{3 + - 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}) = (1, 1)$

ويحقق سالب ومقلوب ميل المستقيم $m = \frac{0 - 2}{- 1 - 3} = \frac{1}{2} \Rightarrow m_{v} = - 2$ بسبب التعامد .

لذلك فمعادلة المستقيم المار بالنقطة $(1, 1)$ ، وميله $- 2$ هي :

$y - 1 = - 2 (x - 1) y - 1 = - 2 x + 2 y = 3 - 2 x$

لذلك فمعادلة المستقيم هي : $| z - (3 + 2 i) | = | z - (1 + 0 i) |$

الحل الآخر:

باعتماد أن كل نقطة في المستوى المركب تمثل عدداً مركباً فإن :

$(3, 2) \Rightarrow z_{1} = 3 + 2 i (- 1, 0) \Rightarrow z_{2} = - 1 + 0 i$

بالتالي فإنَّ معادلة المنصف العامودي تعطى بالعلاقة :

$| z - z_{1} | = | z - z_{2} | | z - (3 + 2 i) | = | z - (1 + 0 i) |$

30) أكتب معادلة في صورة: $A r g (z - a) = θ$ حيث a عدد مركب

و $- π < θ ⩽ π$ تمثل المحل الهندسي المبيّن في الشكل المجاور.

الحل :

المنحنى الناتج هو شعاع يبدأ من النقطة $(- 1, 2)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $θ = - \frac{3 π}{4}$ مع المستقيم $y = 2$ .

بالتالي فإنَّ المعادلة هي : $A r g (z + 1 - 2 i) = - \frac{3 π}{4}$

أكتب (بدلالة z) متباينة المحل الهندسي الذي تمثله المنطقة المظللة في كل مما يأتي :

31) الحل :

المنطقة المظللة الناتجة هي خارج الدائرة المتصلة مركزها النقطة $(4, 1)$ وتمر بالنقطة $(0, 7)$

ونصف قطرها $r = \sqrt{{(0 - 4)}^{2} + {(7 - 1)}^{2}} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$ .

ومعادلته هي : $| z - 4 - i | \geq \sqrt{52}$ .

32) الحل :

المنطقة المظللة الناتجة تقاطع الشعاعين :

الشعاع الذي يبدأ من النقطة $(- 2, 1)$ ، ولا يشملها . ويصنع زاوية قياسها $0$ مع المستقيم $y = 1$ .

فالمعادلة هي $A r g (z + 2 - i) < 0$ وذلك باختبار نقطة الأصل

الشعاع الذي يبدأ من النقطة $(- 2, 1)$ ، ولا يشملها . ويصنع زاوية قياسها $- \frac{π}{4}$ مع المستقيم $y = 1$ .

فالمعادلة هي $A r g (z + 2 - i) \geq - \frac{π}{4}$ وذلك باختبار نقطة الأصل .

والمهم الآن كيف حسبت زاوية المستقيم :

بإعتماد نقطتين على المستقيم مثل $(- 2, 1), (0, - 1)$

$m = \frac{- 1 - 1}{0 - - 2} = - 1 \Rightarrow θ = t a n^{- 1} (- 1) = - \frac{π}{4}$

فالمتباينة : $- \frac{π}{4} \leq A r g (z + 2 - i) < 0$

33) أكتب (بدلالة z) نظام متباينات يُمثَل المحل الهندسي المٌبيِن في الشكل المجاور.

الحل :

المنطقة المظللة الناتجة تقاطع المنحنيين :

المنطقة المظللة الناتجة هي داخل الدائرة المتصلة مركزها النقطة $(- 1, - 2)$ ونصف قطرها 3 وحدات .

ومتباينتها هي $| z + 1 + 2 i | \leq 3$ .

والمنطقة المظللة الناتجة هي دون الخط المستقيم (المنصف العامودي) المتصل بين النقطتين $(0, - 4), (- 6, 0)$

ومتباينته هي :

$| z - z_{1} | = | z - z_{2} | | z - (0 - 4 i) | = | z - (- 6 + 0 i) | | z + 4 i | \leq | z + 6 |$

34) تبرير : إذا كان العدد المركب z يحقق المعادلة : $| z - 3 + 4 i | = 2$ فأجد اكبر قيمة لــِ $| z |$ وأقل قيمة له . مبرراً إجابتي .

الحل :

المنحنى الناتج عن المعادلة يمثل دائرة ، مركزها النقطة $(3, - 4)$ ونصف قطرها وحدتان .

و Z هي مجموعة النقط التي تحقق معادلة الدائرة ( واقعة عليها) .

ويقع أقصر وأطول بعد عند نقطتي التماس مع المستقيم المار بنقطتي التماس والمرسوم من نقطة الاصل :

$O A = O C - r O B = O C + r b u t O C = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5 \Rightarrow O A = O C - r = 5 - 2 = 3 \Rightarrow O B = O C + r = 5 + 2 = 7$

35) تحدٌ: أثبت أن المعادلة $| z - 6 | = 2 | z + 6 - 9 i |$ تمثل دائرة ، ثم أجد مركزها ونصف قطرها .

الحل :

المنحنى الناتج عن المعادلة يمثل دائرة :

$| z - 6 | = 2 | z + 6 - 9 i | z = x + y i | x + y i - 6 | = 2 | x + y i + 6 - 9 i | | (x - 6) + y i | = 2 | (x + 6) + (y - 9) i | \sqrt{{(x - 6)}^{2} + y^{2}} = 2 \sqrt{{(x + 6)}^{2} + {(y - 9)}^{2}} {(\sqrt{{(x - 6)}^{2} + y^{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{{(x + 6)}^{2} + {(y - 9)}^{2}})}^{2} {(x - 6)}^{2} + y^{2} = {4 (x + 6)}^{2} + {4 (y - 9)}^{2} {(x - 6)}^{2} - {4 (x + 6)}^{2} + y^{2} - {4 (y - 9)}^{2} = 0 x^{2} - 12 x + 36 - 4 x^{2} - 48 x - 144 + y^{2} - 4 y^{2} + 72 y - 324 = 0 - 3 x^{2} - 60 x - 3 y^{2} + 72 y - 432 = 0 x^{2} + 20 x + y^{2} - 24 y + 144 = 0 x^{2} + 20 x + {(\frac{20}{2})}^{2} + y^{2} - 24 y + {(\frac{- 24}{2})}^{2} = - 144 + {(\frac{20}{2})}^{2} + {(\frac{- 24}{2})}^{2} {(x + 10)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = 100$

36) تبرير: أي الآتية هو المحل الهندسي الذي معادلته: $A r g (z - 2 + 3 i) = \frac{π}{8}$ مبرراً إجابتي

الحل:

المنحنى الناتج عن المعادلة $A r g (z - 2 + 3 i) = \frac{π}{8}$ هو شعاع يبدأ من النقطة $(2, - 3)$ ، ولا يشملها .

ويصنع زاوية قياسها $\frac{π}{8}$ مع المستقيم $y = - 3$ . فالتمثيل الصحيح هو الشكل b .

رياضيات العلمي فصل أول

التوجيهي علمي

Get it for

MAC

Get it for

WINDOWS