lesson questions solve - Grade العاشر - رياضيات فصل ثاني - JO Academy school

أتحقق من فهمي صفحة 89

في الشكل المجاور ABCD مستطيل فيه $\overset{⇀}{B C} = b و \overset{⇀}{A B} = a$ أعبر عن كل مما يأتي باستعمال المتجهين a و b

$a . \overset{⇀}{A D} = b b . \overset{⇀}{D C} = a c . \overset{⇀}{C B} = - b$

أتحقق من فهمي صفحة 90

اعتمادا على الشكل في مثال 2 أكتب التجه الذي يمثل ناتج الجمع في كل مما يأتي :

$a) \overset{⇀}{A E} + \overset{⇀}{E C} + \overset{⇀}{C B} = \overset{⇀}{AB} b) \overset{⇀}{B E} + \overset{⇀}{E D} + \overset{⇀}{DC} = \overset{⇀}{BC}$

أتحقق من فهمي صفحة 91

اعتمادًا على الشكل في مثال 3 ، أجد هندسيًا كلا مما يأتي :

a ) p +3q

b) 3q - 2p

$c) 2 q - \frac{1}{2} p$

أتحقق من فهمي صفحة 92

إذا كان $c = (0, 5), b = (- 2, 7), a = (3, 1)$ فأجد كل مما يأتي

$a) - b < - (- 2), - 7 > = < 2, - 7 >$

b) 4c

$< 4 (0), 4 (- 5) > = < 0, - 20 >$

c) b -c

$< - 2 - 0, 7 - (- 5) > = < - 2, 12 >$

d) 4a + 3c

$< 4 (3) + 3 (0), 4 (1) + 3 (- 5) > = < 12 + 0, 4 - 15 > = < 12, - 11 >$

أتحقق من فهمي صفحة 93

ملاحة بحرية انطلق قارب شراعي من ميناء بسرعة متجهة مقدارها 30km/h متجها إلى جزيرة تقع غربه . وفي هذه الأثناء ، هبت رياح بلغت سرعتها المتجهة 10km/h بزاوية $25 °$ جنوب الغرب . كيف يمكن للبحار تعديل مقدار سرعة القارب واتجاهه للوصول إلى وجهته من دون تأخير ؟

نفرض ان vهو متجه سرعة القارب وان u هو متجه سرعة الرياح وبذلك فان

${|v + u|}^{2} = 30^{2} + 10^{2} - 2 (30) (10) c o s 155 = 900 + 100 - 600 (- 0.4872) = 1000 + 292.3 = 1292.3 |v + u| = \sqrt{1292.3} = 35.9$

$\frac{s i n θ}{10} = \frac{s i n 155}{35.9} s i n θ \approx 0.12 \to θ = s i n^{- 1} 0.12 = 7.29$

اي يجب تعديل اتجاه القارب بزاوية 7.29ْ جنوب غرب وزيادة سرعته لتصبح 35.9 لكي يصل الى وجهته في الوقت المحدد

أتدرب و أحل المسائل

اعتمادًا على الشكل المجاور حيث $\overset{⇀}{A E} = b, \overset{⇀}{A G} = a$ اكتب كل متجه مما يأتي بدلالة a و b

$1 . \overset{⇀}{E I} = a 2 . \overset{⇀}{F C} = b 3 . \overset{⇀}{D E} = - b 4 . \overset{⇀}{G E} = b - a 5 . 4 \overset{⇀}{G D} = 8 b - 4 a 6 . \overset{⇀}{C A} = - (2 a + 2 b)$

إذا كان $a = <34, - 86>$ و $c = <9, - 1> و b = <- 65, 17>$ فأجد كل مما يأتي :

7.a+c

a+c = $< 34 + 9, - 86 + - 1 > = < 43, - 87 >$

8.b - a = $< - 65 - 34, 17 - (- 86) > = < - 99, 103 >$

$= < - 99, 103 >$

9.3c+b

3c +b $3 c = < 27, - 3 > 3 c + b = < 27 + (- 65), - 3 + 17 > = < - 38, 14 >$

10.a+b-2c

$a + b - 2 c = < 34 + (- 65) - 18, (- 86) + 17 + 2 > = < - 49, - 67 >$ $= < - 49, - 67 >$

اعتمادًا على الشكل المجاور ، اكتب كلا من المتجهات الآتية بدلالة r و s و t :

$11 . \overset{⇀}{S R} = r - s 12 . \overset{⇀}{S T} = t - s 13 . \overset{⇀}{R S} = s - r$

14. إذا كان $< 7, - 5 > = < 3 x - y, y - x^{2} >$ $< 7, - 5 > = < 3 x - y, y - x^{2} >$ فما قيمة كل من x و y ؟

$3 x - y = 7 y - x^{2} = - 5 y = 3 x - 7 3 x - 7 - x^{2} = - 5 x^{2} - 3 x + 2 = 0 (x - 2) (x - 1) = 0 x = 2 o r x = 1 x = 2 \to y = - 1 x = 1 \to y = - 4$

إذا كان $f = < 2, 4 >, e = < - 3, - 2 >$ فأمثل كل كم المنتجهات الآتية على المستوى الإحداثي :

15. e + f

16. 3f

17. e - f

18. f - e

19. 4e

20. 2f + e

21 . إذا كان $e = <11, - 8> و d = <5, 9>$ فأجد $|\frac{1}{3} e|, |4 d - 3 e|$

$|\frac{1}{3} e| = \frac{1}{3} |e| = \frac{1}{3} \sqrt{11^{2} + (- 8^{2})} = \frac{1}{3} \sqrt{185} \approx 4.5 |4 d - 3 e| = \sqrt{(- 13^{2}) + (60^{2})} = \sqrt{3769} \approx 61.4$

في الشكل المجاورة OABCD شبه منحرف ، فيه R منصف $\bar{O B}$ و Q منتصف $\bar{A C}$ إذا كان $\overset{⇀}{O B} = b و \overset{⇀}{B C} = 2 a$ فاكتب كلا من المتجهات الآتية بدلالة a و b

$22 . \overset{⇀}{Q R} = \overset{⇀}{QA} + \overset{⇀}{AO} + \overset{⇀}{OR} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{CA} + \overset{⇀}{AO} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{OB} = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{CB} + \overset{⇀}{BO} + \overset{⇀}{OA}) + \overset{⇀}{AO} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{OB} = \frac{1}{2} (- 2 a + (- b) + a) + (- a) + \frac{1}{2} b = \frac{- 3}{2} a 23 . \overset{⇀}{AQ} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{AC} = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{AO} + \overset{⇀}{OB} + \overset{⇀}{BC}) = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{AO} + \overset{⇀}{OB} + \overset{⇀}{BC}) = \frac{1}{2} (- a + b + 2 a) = \frac{1}{2} (a + b) 24 . \overset{⇀}{R Q} = \frac{3}{2} a$

25 . كيف يمكن تحديد إذا كان $\bar{B C} و \bar{O A}$ متوازيين في الشكل OABCB ؟

$\overset{⇀}{O A} = a, \overset{⇀}{B C} = 2 a \overset{⇀}{B C} = 2 \overset{⇀}{O A} \overset{⇀}{B C} ∥ \overset{⇀}{O A}$

26. رياضة : في ساباق للمشي، انطلقت رند من نقطة البداية، فقطعت 15km في اتجاه الشرق ، ثم اتجهت شمالًا مسافة 17km كم كيلومترًا تبعد رند عن نقطة البداية ؟

$\sqrt{15^{2} + 17^{2}} = \sqrt{225 + 289} = \sqrt{514} \approx 22.67$

27 . نزهة بحرية : أبحر قارب سياحي مسافة 40km جنوبا، ثم تحرك مسافة 70km في اتجاه الشرق . أجد اتجاه القارب وبعده عن نقطة انطلاقه .

$|A C| = \sqrt{40^{2} + 70^{2}} \approx 80.62 k m t a n θ = \frac{40}{70} θ = t a n^{- 1} (\frac{4}{7}) \approx 29.7$

اي ان القارب يبعد 80.62 عن نقطة انطلاقه A و في اتجاه 330.3ْ مع محور X الموجب

28. أحل المسألة الواردة في بداية الدرس .

بدأت طائرة رحلتها نحو الشمال بسرعة مقدارها 450km/h لكنها واجهت رياحا شرقية سرعتها 60km/h فأخذت تنحرف نحو اليسار.

كيف يمكن للطيار أن يعدل اتجاهها وسرعتها ليصل إلى وجهته من دون تأخير ؟

$| v + w | = \sqrt{450^{2} + 60^{2}} \approx 453.98 k m / h t a n θ = \frac{60}{450} = \frac{2}{15} θ = t a n^{- 1} (\frac{2}{15}) \approx 7.59 °$

اي يتعين الربان ان يحرف مسار بزاوية $\circ 7.59$ نحو اليمين، ويزيد سرعتها لتصبح 453.98، فتعيدها الرياح الى اتجاه الشمال، وتخفض سرعتها حتى تصل 450

29. سباق زعانف : شارك سامي في سباق الزعانف الذي نظمه اتحاد الرياضات البحرية على شاطئ خليج العقبة. سبح سامي بسرعة متجهة مقدارها 3km/h في اتجاه الجنوب ، لكنه واجه أمواجًا سرعتها 1.8km/h وقد دفعته إلى اتجاه الشرق فغير مقدار سرعته واتجاهها ليقاوم الأمواج ، ويفوز بالسباق . أجد السرعة المتجهة التي يجب أن يسبح بها سامي .

$| v + u | = \sqrt{3^{2} + 1 . 8^{2}} = \sqrt{12.24} \approx 3.50 k m / h$

اذا ، يجب ان يسبح بسرعة 3.5، وفي اتجاه $31 °$ غرب الجنوب حتى ينهي السباق في موعد

تحويلات هندسية أجري انسحاب للشكل ABCD المجاور باستعمال المتجه ( a , b ) حيث a مقدار الانسحاب على محور x و b مقدار الانسحاب على محور y :

30) اجد (a,b)

$(a, b) = (- 4, - 2)$

31) اذا اجري انسحاب للشكل 'A'B'C'D باستعمال المتجه (4 - ,3)،فارسم الشكل الناتج من الانسحاب، واسميه ''A''B''C''D

32) احدد المتجة (f,e) الذي يصف انسحاب الشكل ABCD الى الشكل ''A''B''C''D

30.

( a , b) = ( -4 , -2 )

31.

32.

( f , e) = ( -1 , -6)

33) انطلقت سيارة من المدينة A الى المدينة B، فقطعت مسافة 200km في اتجاه $040 °$ ، ثم غيرت اتجاه حركتها الى $050 °$ ، وقطعت مسافة 150km. اجد اتجاه النقطة B وبعدها عن النقطة A

$m < A O N = 180 ° - 40 ° = 140 ° m < A O B = 360 ° - (50 ° + 140 °) = 170 ° A B^{2} = 200^{2} + 150^{2} - 2 \times 200 \times 150 \times c o s 170 ° = 121588.47 A B = \sqrt{121588.47} \approx 348.7 k m \frac{s i n θ}{150} = \frac{s i n 170}{348.7} θ = s i n^{- 1} (0.075) \approx 4.3 °$

اي ان تبعد عن A مسافة 348.70، واتجاهها من A هو 44.3

34) اذا كان $<3, x> + y^{2} <3, 5> - <15, 7> = 0$ ، فاجد قيمة كل من العددين xوy

$x + 5 y^{2} - 7 = 0 3 + 3 y^{2} - 15 = 0 3 y^{2} = 12 y^{2} = 4 y = \pm 2 x + 5 y^{2} - 7 = 0 x + 5 \times 4 - 7 = 0 x + 20 - 7 = 0 x = - 13$

مهارات التفكير العليا

35) تبرير : انطلق يخت في رحلة بحرية من الميناء، فقطع مسافة 60kmشمالا، ثم تحرك مسافة 40km شرقا، ثم مسافة 16km جنوبا، فوصل الى جزيرة. اجد بعد الجزيرة عن الميناء، ثم اجد المسافة التي قطعها اليخت في رحلته البحرية حتى وصل الجزيرة، واقارن بينهما

مجموع المسافات التي قطعها اليخث:

60+40+16=116

وبافتراض ان الجزيرة تبعد عن الميناء x km، فان:

$x = \sqrt{44^{2} + 40^{2}} \approx 59.46 k m$

اذا، مجموع المسافات التي قطعها اليخت نساوي مثلي بعد الجزيرة عن الميناء تقريبا؛ لان اليخث لم يسلك المسار المستقيم من الميناء الى الجزيرة

تحد:يمثل الشكل المجاور OAB مثلثا متطابق الاضلاع، ويمثل فيه M مركز المثلث؛ ما يعني ان المستقيم الواصل بين راس المثلث والنقطة M عمودي على الضلع المقابل:

36) اكتب المتجه $\overset{⇀}{A B}$ بالصورة الاحداثية

$\vec{ِ A B} = \vec{A O} + \vec{O B} = - a + b = b - a = <|b|, c o s 0 °, |b| s i n 0 °> - <|a| c o s 60 °, |a| s i n 60 °> = <|b|, 0> - <\frac{1}{2} |a|, \frac{\sqrt{3}}{2} |a|>$

لان $|a| = |b|$

$= <\frac{1}{2} |a|, \frac{- \sqrt{3}}{2} |a|>$

37) اثيت ان $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} (a + b)$

كتاب التمارين صفحة 21

امثل بيانيا من المتجهات الاتية اعتمادا على الشكل المجاور:

1. a +b

2 . - a

3. a - c

4. b - a

5. - c

6.- a - b

في الشكل المجاور، Mهي نقطة منتصف $A B$

اكتب كلا من المتجهات الاتية بدلالة المتجهين a،وb

$7) \overset{⇀}{A B} = b - a 8) \overset{⇀}{B O} = - b 9) \overset{⇀}{A M} = \frac{1}{2} (b - a) 10) \overset{⇀}{O M} = \frac{1}{2} (a + b)$

11) احدد على الشكل موقعي النقطتين X،وY، بحيث يكون $\overset{⇀}{O X} = 2 a + b, \overset{⇀}{O Y} = a + 2 b$

12) اكتب $\overset{⇀}{X Y}$ بدلالة a،و b

b - a

13) ما المتجهات الاخرى المكافئة ل $\overset{⇀}{X Y}$ ؟

$\overset{⇀}{A B}$

اذا كان $a = (27, - 15), b = (9, - 21), c = (- 12, 0)$ ، فاجد كلا مما ياتي:

$14) a - c = < 39, - 15 > 15) b - 2 a = < - 45, 9 > 16) 3 c - b = < - 45, 21 > 17) a - b - c = < 30, 6 >$

يمثل الشكل المجاور المتجهات الاتية، علما بان O هي نقطة الاصل:

$\bar{O A} = (2, 2) \bar{O B} = (4, 1) \bar{O C} = (6, 0)$

اكتب كلا من المتجهات الاتية بالصورة الاحداثية، ثم ارسمه على الشكل:

$18) \overset{⇀}{A B}$

$19) \overset{⇀}{A C}$

$20) \overset{⇀}{B C}$

21) هل اجابات المسائل كافية لاثبات ان ABC مستقيم؟ ابرر اجابتي

نعم ، كافية ، بما أن $\overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{A B}$ فإن $\overset{⇀}{A C} ∥ \overset{⇀}{A B}$ وبما أنهما يشتركان في النقطة B فهما يكونان مستقيما واحدًا. وهذا يعني أن ABC خط مستقيم أي أن النقاط A و B و C تقع على المستقيم نفسه .

رياضيات فصل ثاني

العاشر

Get it for

MAC

Get it for

WINDOWS